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“这个是我引入的新的坐标表述方法，可以称其为极坐标。”
说完，莱纳在旁边建立了一个正常的直角坐标系，画了一条过原点的开口向上的抛物线。
“倘若我们想描述这个曲线的函数方程，应该是什么，丹娜？”
他提问道，令丹娜猝不及防。
不过好在这比较简单，丹娜很快就给出了答案。
“呃，y=x^2？”
“准确来说，应该是y=2p*x^2，在这个函数方程中，由于涉及到平方的操作，所以比一般的直线方程要更加复杂，如果曲线的位置有所变化，比如不在原点的话，那么就会更加麻烦。”
莱纳说着，又继续在黑板上书写。
“接下来我们可以建立两个等式：y=r*sinθ，x=r*cosθ，将其代入原本的方程，消去简化之后就能得到一个方程，r=tanθ/cosθ。”
克莱尔点了点头，但这个函数方程看起来似乎更加复杂了，她不明白莱纳为何要用这种麻烦的方式来记录曲线的轨迹。
“当然，这是非常复杂的方式，但如果我们稍微改变一下定义，r是抛物线上的点与焦点的距离，θ确定为抛物线上的点与焦点连线同纵轴正方向的夹角呢？”
莱纳的提问让克莱尔与丹娜愣住了。
第七十一幕。莱纳的数学教室（下）（）
已故的法则系高阶法师安德尔。卢瓦尔对抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，而那个定点便是抛物线的焦点，那一条定直线就是抛物线的准线。
“这条抛物线的准线方程是y=…p/2，焦点则是0，p/2，引入极坐标，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ＋p/2。”
莱纳在黑板上流畅地书写着，他之前已经自己推导过一遍，因此现在只不过是复述而已。
“那么，这个抛物线上的点a到准线的距离就是r*cosθ＋p，到焦点的距离就是r，根据定义，这两者应当是相同的，即为r=r*cosθ＋p，稍微化简一下，以θ为自变量，就能得到一个表达式r=p/（1…cosθ）。”
计算式子在黑板上不断被书写，犹如一条条神秘的咒语，指引着一个奇妙的世界。
“将其带入原始的函数方程，很容易就能看出这两者是等价的，不过是同一个抛物线在不同坐标系下的不同数学表达而已。”
而很明显，极坐标的函数方程十分简洁，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。
莱纳在查阅这个世界的数学资料时，发现出人意料的，这里的数学发展比起其他方面的发展要落后许多，虽然各种曲线方程，三角函数的发展已经很快，大部分数学概念已经被确定下来，但涉及到微积分与数论方面的知识却鲜少有人讨论，至于虚数的领域更是尚不存在。
法则系的传奇法师伊萨里斯。艾伯顿阁下是微积分的创始者，但他最开始不过是为了用来描述自己的运动三大定律，完全没有想到将其发扬光大。
微积分的普及还是在数年之后，刚刚成为高阶法师的艾伯顿阁下所在的学校面临经费危机，他才想到将微积分作为法则系学生的必修课，当年学校的重修费收入便提高了百分之五百以上，顺利度过了危机，而微积分也开始成为中高阶法师们构筑法术模型时候的参考。
究其原因，莱纳认为有两点。
第一点，这毕竟是一个魔法的世界，古代法师们在没有任何数学理论的基础上照样发展出了灿烂辉煌的文明，对于绝大多数法师而言，经验直觉远比计算来得方便，而越是高阶法师，这一点体现得越明显。
用一个简单的例子来说明便是测量一个不规则桶的容积，人们既可以选择将其分解，不断积分得到最终答案，也可以选择直接用魔力灌满，得到答案，而后者显然简单粗暴得多。
高阶法师们就像是拥有强大计算力的机器，哪怕只用单纯的穷举法也能完成绝大多数法术模型的计算。
数学在这个世界归根结底还只不过是捷径，而强者不需要捷径，弱者的学识又不足以找到新的捷径，因此这个学科的发展一直没有人推动。
如今数学成果的进步大多还仰仗于现实中遇到了难以解决的问题，人们才会转头去寻求数学的帮助。
第二点，也是最重要的一点，那就是数学的发展无法获得世界的反馈。
即便莱纳提出了极坐标体系，但世界的反馈几乎不存在，一千八百年前泰勒斯。阿纳克希提出了三角形的阿纳克希定理，这重大发现却完全得不到世界的反馈，一度让他以为自己弄错了。
艾伯顿阁下创立的微积分也没有对他构筑法术模型和收获学生的怨念之外产生任何帮助，也正因此，直到现在，在法师的派系中也并没有专门研究数学的一派，更没有数学家，研究者大多分布在法则系与元素系之中，专注于用数学知识优化法阵与法术模型，更倾向于应用数学。
这个世界的学术体系之所以蓬勃发展，人们之所以对真理求贤若渴，很大一部分原因便是对世界真实的探索能够获得反馈，获取力量，而看起来“一无是处”的数学，自然就无人问津了。
“这太奇妙了。”
丹娜小声说道，倘若以莱纳得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的轨迹方程，她在今天之前，从来没有意识到数学竟然有这种奇妙的力量。
克莱尔陷入沉思，她想了想，才举起手，提问道。
“可这只能解释抛物线的轨迹，法术模型里还有更多更复杂的曲线，比如椭圆和双曲线，这些该怎么办？”
“这就是问题所在。”
莱纳微微一笑，接着在黑板上画出一个椭圆，建立极坐标，开始推演。
“椭圆的定义是平面上到两个定点的距离等于一个常数，并且大于两个定点之间距离的点的集合，同样存在着准线与焦点，定义可以转化为平面上到定点的距离与到准线的距离的比值为常数的点的集合，以同抛物线类似的方法带入。。。。。。”
莱纳的板书很规整，简单明了，丹娜也能迅速理解。
最终，椭圆在引入极坐标之后得到了一个公式r=e/（1…e*cosθ），e=b^2/a，e=c/a，a是椭圆的长轴的一般，而b则是短轴的一半，而c则是两个焦点之间的距离。
“这两个公式，很像。”
丹娜意识到了一些问题，但却没办法得出结论。
没有等待她们仔细思考，莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。
双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于两个点之间距离的点的集合，莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程，因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。
r=e/（1…e*cosθ）。
这三个方程的形式惊人地一致，让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。
“实际上，我们可以假设抛物线也存在一个e，只不过这个e的值是1，而焦点与长短轴的长度也能统一，这样来看，椭圆，双曲线，抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示，而决定它们不同的便是这个e，我定义其为离心率。”
看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式，莱纳说道。
“当离心率小于1，那么便是双曲线，当离心率大于1，则是椭圆，而当离心率等于1，便是抛物线，当离心率等于0，那么这便是一个正圆。”
他的结论看似难以接受，但一步步的推导过程却又是如此明晰，克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。
“由此，我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化，同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义：平面上，与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合，这个常数便是离心率e！”
放下粉笔，莱纳轻声说道。
“证明完毕。”
第七十二幕。兴趣是最好的老师（）
在短短的一个小时之内，莱纳便将低阶魔法的法术模型中最常见的四种特殊曲线统一到了一个数学公式里，对于莱纳来说，这就是基础的高中数学知识，他记得不太清楚，自己推导了一遍也没花多少工夫，但这过程依旧看得克莱尔与丹娜一愣一愣的。
尤其是丹娜，过去，她一直认为数学是一门没什么用而且非常困难的学科，但此刻，在莱纳的笔下，数学却具有某种令人着迷的魅力。
而克莱尔，只能保持“喵喵喵？？？”的表情了。
“校长先生，既然这四种曲线都能够统一到这个函数方程里，那么其他的曲线是不是也能用这种方法表示？比如构筑潮涌术的德米拉螺线？”
丹娜问道，她觉得自己从没有像此刻一样对于数学充满好奇。
潮涌术是一种在水流中制造漩涡的低阶法术，虽然在高阶法师的手中，这个法术能够制造吞噬船只的漩涡，但在法师学徒的手里，潮涌术最大的用途是清洗衣物和餐具。
作为勤工俭学的丹娜最熟悉的恐怕就是这个法术。
“有可能，不过我觉得这需要你自己来推导。”
莱纳留了一个悬念，他已经从丹娜的眼神中看到了求知的光芒，对于一名学生而言，兴趣才是最好的老师，现在，他已经成功激起了丹娜的探究之心，剩下的，就是给予适当引导。
“所以这就是你所说的改良法术模型吗？”
克莱尔才意识到莱纳所说的话，的确，虽然从外在来看，不同的函数方程的确描绘出的是同一个轨迹，但其本质却已经大有不同。
法术模型虽然没有任何变化，但在纸面的世界里，它的确已经被“改良”了。
这是纯粹数学上的推导，是逻辑思维的过程，没有调动任何魔力，没有施放任何法术，便完成了这样的统一。
那么是否存在一种单纯依靠数学的证明推导来演绎魔法的途径呢？
克莱尔开始反思数学的真实作用，新月学院并没有专门的数学课，学生们接触数学只在法阵学一类涉及法术模型的课程上，就连克莱尔，除去构筑法术模型之外也并没有深入研究过数学。
“我给你布置一下作业，就是将光照术的法术模型以极坐标方式体现，三天之后，我们在学校广场检验一下成果，当然，这几天的数学试卷也不能放下。”
看着两位陷入思考的少女，莱纳说道，令丹娜的表情略微一滞，只能苦涩地点了点头。
“好吧。”
“你的生日就在最近吧，如果你表现得好，比如说成功施放了光照术的话，我可以考虑帮你弄一个大蛋糕庆祝一下。”
莱纳又说着，令这位平日里勤俭节约的少女眼神立刻明亮了起来。
“真的吗？”“多大的蛋糕？”
当然，同时眼神放光的还有克莱尔，她那跃跃欲试的模样就像一只伸出爪子的小猫咪，正看着眼前的食物蓄势待发。
“到时候就知道了。”
莱纳有些无奈，女生对于甜食天生就没有抵抗力，尤其是处于青春期的少女，时常要陷入摄取糖分与保持身材的纠结之中，不过看起来克莱尔倒是完全不在意。
“现在。”
莱纳看了看时间。
“我得整理一下今天的收获。”
。。。。。